Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 15 x - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 20 x^{3} + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 15 x - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 2 x + 15$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3} + 2$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$- 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3}) + 2$

Schritt 9.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(8 \sqrt{2})}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.1.3

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{2}$ an.

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 20 (- \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$- 20 (- \frac{512 {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{3}}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{8}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{4 (2)}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 20 (- \frac{512 \cdot 2 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $512$ mit $2$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Schritt 9.4

Potenziere $9$ mit $3$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729}) + 2$

Schritt 9.5

Multipliziere $- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$20 \frac{1024 \sqrt{2}}{729} + 2$

Schritt 9.5.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1024 \sqrt{2}}{729}$ .

$\frac{20 (1024 \sqrt{2})}{729} + 2$

Schritt 9.5.3

Mutltipliziere $1024$ mit $20$ .

$\frac{20480 \sqrt{2}}{729} + 2$

Schritt 10

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{2}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = 1 (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.5

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ in den Zähler.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 (5) (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.7.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.7.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.8

Kombiniere $5$ und $\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{5 (- 8 \sqrt{2})}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Schritt 11.2.1.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5})$

Schritt 11.2.1.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{5}}{9^{5}}))$

Schritt 11.2.1.11.3

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{2}$ an.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Schritt 11.2.1.12

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.12.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Schritt 11.2.1.12.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.12.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Schritt 11.2.1.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Schritt 11.2.1.12.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{6} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Schritt 11.2.1.13

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + 1 (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Schritt 11.2.1.14

Mutltipliziere $\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.15.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{2^{5}}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{32}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.15.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{16 (2)}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \cdot (4 \sqrt{2})}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.15.6

Mutltipliziere $32768$ mit $4$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{9^{5}}$

Schritt 11.2.1.16

Potenziere $9$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.2

Um $- \frac{40 \sqrt{2}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{19683}{19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $59049$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ mit $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{3 \cdot 19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $19683$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{59049} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2} \cdot 19683 + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1.1

Mutltipliziere $19683$ mit $- 40$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 787320 \sqrt{2} + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.5.1.2

Addiere $- 787320 \sqrt{2}$ und $131072 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 656248 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$ .

$y = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1.3725465$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 {(1.3725465)}^{3} + 2$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Potenziere $1.3725465$ mit $3$ .

$- 20 \cdot 2.58571828 + 2$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $2.58571828$ .

$- 51.71436573 + 2$

Schritt 13.2

Addiere $- 51.71436573$ und $2$ .

$- 49.71436573$

Schritt 14

$x = 1.3725465$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1.3725465$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1.3725465$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.3725465$ .

$f (1.3725465) = {(1.3725465)}^{2} + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Potenziere $1.3725465$ mit $2$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $1.3725465$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - {(1.3725465)}^{5}$

Schritt 15.2.1.3

Potenziere $1.3725465$ mit $5$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 1 \cdot 4.87119308$

Schritt 15.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4.87119308$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 4.87119308$

Schritt 15.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Addiere $1.88388391$ und $20.5881976$ .

$f (1.3725465) = 22.47208152 - 4.87119308$

Schritt 15.2.2.2

Subtrahiere $4.87119308$ von $22.47208152$ .

$f (1.3725465) = 17.60088843$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $17.60088843$ .

$y = 17.60088843$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$ .

$(- \frac{8 \sqrt{2}}{9}, \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049})$ ist ein lokales Minimum

$(1.3725465, 17.60088843)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17