Algebra Beispiele

$f (x) = - 5 x - x^{2}$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 5}{2 (- 1)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 5}{2 (- 1)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 5}{2 (- 1)}$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 5 (- \frac{5}{2}) - {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 5 (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 5 (\frac{5}{2}) - {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{5 \cdot 5}{2} - {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{25}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 2}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 2 - 25}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{50 - 25}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $25$ von $50$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{5}{2}, \frac{25}{4})$

Schritt 5