Algebra Beispiele

$f (x) = | x - a | - b$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $| x - a | - b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x - a$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.4

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $\frac{x - a}{| x - a |}$ mit $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 1.3

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $\frac{x - a}{| x - a |}$ und $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Schritt 1.4.6

Schreibe $- (a - x)$ als $- 1 (a - x)$ um.

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Schritt 1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{a - x}{| x - a |} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = a - x$ und $g (x) = | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (a - x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (\frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (- x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- \frac{d}{d x} x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- 1 \cdot 1) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \cdot - 1 - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $| x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 \cdot | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6.3

Schreibe $- 1 | x - a |$ als $- | x - a |$ um.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x - a$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.3

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + 0))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1)}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $\frac{x - a}{| x - a |}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{a - x}{| x - a |}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + 0$

Schritt 2.5.6.2

Addiere $- \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + 1 x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Mutltipliziere $- a + x$ mit $\frac{x - a}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (x - a)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1.3.1

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.3.2

Potenziere $- a + x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.3.3

Potenziere $- a + x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{1 + 1}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.2

Um $- | x - a |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | \cdot \frac{| x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.3

Kombiniere $- | x - a |$ und $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.5.1

Multipliziere $- | x - a | | x - a |$ .

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Schritt 2.6.2.5.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.1.2

Potenziere $x - a$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.1.3

Potenziere $x - a$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{1 + 1} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.2

Schreibe ${(x - a)}^{2}$ als $(x - a) (x - a)$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.3

Multipliziere $(x - a) (x - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x (x - a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.5.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.5.4.1.4.1

Bewege $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a^{2}) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.1.6

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.2

Subtrahiere $a x$ von $- x a$ .

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Schritt 2.6.2.5.4.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - a x - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.4.2.2

Subtrahiere $a x$ von $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.5

Schreibe ${(- a + x)}^{2}$ als $(- a + x) (- a + x)$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + (- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.6

Multipliziere $(- a + x) (- a + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.2.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a + x) + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.2.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.5.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.5.7.1.2.1

Bewege $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + 1 a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.4

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.2

Subtrahiere $x a$ von $- a x$ .

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Schritt 2.6.2.5.7.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.5.7.2.2

Subtrahiere $a x$ von $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- | x^{2} - 2 a x + a^{2} |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $a^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.13

Schreibe $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ als $- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.3.1

Schreibe $\frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |} \cdot \frac{1}{{| x - a |}^{2}})$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{| x - a |}^{2}}$ mit $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Schritt 2.6.3.3

Multipliziere ${| x - a |}^{2}$ mit $| x - a |$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.3.1

Mutltipliziere ${| x - a |}^{2}$ mit $| x - a |$ .

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Schritt 2.6.3.3.1.1

Potenziere $| x - a |$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Schritt 2.6.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2 + 1}}$

Schritt 2.6.3.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Schritt 2.6.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}})$

Schritt 2.6.3.5

Mutltipliziere $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Schritt 2.6.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{- a^{2} - x^{2} + 2 a x + | x^{2} - 2 a x + a^{2} |}{{| x - a |}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $| x - a | - b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x - a$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.4

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{x - a}{| x - a |}$ mit $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Schritt 4.1.3

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Addiere $\frac{x - a}{| x - a |}$ und $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.6

Schreibe $- (a - x)$ als $- 1 (a - x)$ um.

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Schritt 4.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{a - x}{| x - a |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$a - x = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - a$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - a$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - a$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- a}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- a}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- a}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{a}{1}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$x = a$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = a$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = a$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| (a) - a |}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| 0 |}^{3}}$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0^{3}}$

Schritt 9.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11