Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Schritt 1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Schritt 2

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $18$ von $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Schritt 6

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 7

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 7.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - 5$

Schritt 8

Berechne $f (- 5)$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Schritt 8.2.1.2.2

Addiere $25$ und $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $32$ durch $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Schritt 8.2.3

Addiere $- 25$ und $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 9

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- 5, - 9)$

Schritt 10