Algebra Beispiele

$\frac{k}{x^{n}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $k$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $\frac{k}{x^{n}}$ nach $n$ gleich $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{n}}$ als ${(x^{n})}^{- 1}$ um.

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{n})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

Schritt 2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = - n$ ist.

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $x$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $0$ .

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $x^{- n - 1}$ .

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ .

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $- n$ nach $n$ gleich $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

Schritt 3.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $k$ .

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

Schritt 3.5.3

Schreibe $- 1 k$ als $- k$ um.

$- k (x^{- n} \ln (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $- k x^{- n} \ln (x)$ um.

$- x^{- n} k \ln (x)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $- x^{- n} k \ln (x)$ um.

$- k x^{- n} \ln (x)$