Algebra Beispiele

$4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = {(8 y + 24)}^{- 1}$ .

$4 (y \frac{d}{d y} [{(8 y + 24)}^{- 1}] + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = 8 y + 24$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 y + 24$ .

$4 (y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (y (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 y + 24$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 y + 24$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.2

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.5

Da $24$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + 0)) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $8$ und $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \cdot 8) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \cdot 1)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere ${(8 y + 24)}^{- 1}$ mit $1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2})) + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$- 32 y {(8 y + 24)}^{- 2} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 24$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y) + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 8 \cdot 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 8 \cdot 3$ heraus.

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y + 3))}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Produktregel auf $8 (y + 3)$ an.

$- 32 y \frac{1}{8^{2} {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- 32 y \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32 y$ heraus.

$32 (- y) \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $32$ aus $64 {(y + 3)}^{2}$ heraus.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- y \frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}}$ und $y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Schritt 5.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 24}$

Schritt 5.3.6

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 24$ heraus.

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y) + 24}$

Schritt 5.3.6.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 8 \cdot 3}$

Schritt 5.3.6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 8 \cdot 3$ heraus.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y + 3)}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8 (y + 3)$ heraus.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 (y + 3)}$