Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 2$ plus $5$

$f (x) = \frac{2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = \frac{2 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{2 x^{2} - 5 x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) - 5 x}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) + x \cdot - 5}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Schritt 3

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (2 (- x) + 5)}{(- x) (2 (- x) - 5)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (2 (- x) - 5)}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.6

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.8

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Schreibe $- (2 x - 5)$ als $- 1 (2 x - 5)$ um.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.10.3

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 5)}$

Schritt 3.12

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 5)}$

Schritt 3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (5)$ heraus.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x + 5))}$

Schritt 3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.14.1

Schreibe $- (2 x + 5)$ als $- 1 (2 x + 5)$ um.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 1 (2 x + 5))}$

Schritt 3.14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Schritt 3.14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)})$

Schritt 3.14.4

Mutltipliziere $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Schritt 4

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 4.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 4.2

Da $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 5

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 5.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Schritt 5.2

Da $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 6

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 7

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 8

Da die Funktion nicht gerade ist, ist sie nicht zur y-Achse symmetrisch.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 9

Da die Funktion weder ungerade noch gerade ist, gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine y-Achsensymmetrie.

Funktion ist nicht symmetrisch

Schritt 10