Algebra Beispiele

$x^{2} - 4 y - 4 x + 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - 4 x + 8 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y + 8 = - x^{2} + 4 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = - x^{2} + 4 x - 8$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - x^{2} + 4 x - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - x^{2} + 4 x - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{4 x}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{4 x}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{4 x}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (x)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot x + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x^{2}}{4} - x + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - x + 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{4} - x + 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 1$

$c = 2$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 2 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = 2 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 2 - \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 2 - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$e = 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(x - 2)}^{2} + 1$ ein.

$\frac{1}{4} {(x - 2)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 2)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = 2$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 0$

Schritt 6