Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 28000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $28000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.6

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 28000$ heraus.

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Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 28000$ heraus.

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Schritt 2.8.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ heraus.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Schritt 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 7000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.3.4

Da $- 7000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.3.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Schritt 3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x^{3} - 7000) x$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Schritt 3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Schritt 3.10.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Schritt 3.10.3.1.3

Multipliziere $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

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Schritt 3.10.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Schritt 3.10.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Schritt 3.10.3.2

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Schritt 3.10.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 56000$ heraus.

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Schritt 3.10.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $4$ aus $56000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Schritt 3.10.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 28000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Da $28000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 28000$ heraus.

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Schritt 5.1.8.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 28000$ heraus.

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{3} - 7000) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{3} - 7000) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3} - 7000$ durch $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $7000$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 7000$

Schritt 6.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{7000}$ .

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Schritt 6.3.4.1

Schreibe $7000$ als $10^{3} \cdot 7$ um.

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Schritt 6.3.4.1.1

Faktorisiere $1000$ aus $7000$ heraus.

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Schritt 6.3.4.1.2

Schreibe $1000$ als $10^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Schritt 6.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt[3]{7}$ an.

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ als $7$ um.

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Schritt 10.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7}$ als $7^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $1000$ mit $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.1.5

Addiere $7000$ und $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt[3]{7}$ an.

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ als $7$ um.

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Schritt 10.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7}$ als $7^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 10.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 10.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 10.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 10.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Schritt 10.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $1000$ mit $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Schritt 10.3.3

Dividiere $84000$ durch $7000$ .

$12$

Schritt 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ und $10$ .

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Schritt 12.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $28000$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt[3]{7}$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Schritt 12.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Schritt 12.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.2.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt[3]{7}$ an.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ als $7$ um.

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Schritt 12.2.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7}$ als $7^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.4

Mutltipliziere $1000$ mit $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.2.5

Addiere $7000$ und $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21000$ und $5$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $21000$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt[3]{7}$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Schritt 12.2.4

Mutltipliziere $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 12.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 12.2.5.2

Potenziere $\sqrt[3]{7}$ mit $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 12.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Schritt 12.2.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Schritt 12.2.5.5

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7}$ als $7^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 12.2.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 12.2.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Schritt 12.2.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Schritt 12.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4200$ und $7$ .

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Schritt 12.2.6.1

Faktorisiere $7$ aus $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Schritt 12.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.6.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Schritt 12.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Schritt 12.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Schritt 12.2.6.2.4

Dividiere $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ durch $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Schritt 12.2.7

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ als $\sqrt[3]{7^{2}}$ um.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Schritt 12.2.8

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Schritt 12.2.9

Die endgültige Lösung ist $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14