Algebra Beispiele

$y = - \frac{2}{3} {(4)}^{x + 3} - 4$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$y = {(4)}^{x}$

Schritt 2

Löse $y = {(4)}^{x}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4^{x}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(4)}^{x}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4^{x}$

Schritt 3

Löse $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$

Schritt 3.2

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $4^{x + 3}$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{4^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = - \frac{{(2^{2})}^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{x + 3}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{2^{2 (x + 3)} \cdot 2}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2^{2 x + 2 \cdot 3} \cdot 2}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 6} \cdot 2}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{2^{2 x + 6 + 1}}{3} - 4$

Schritt 3.2.1.5

Addiere $6$ und $1$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4$

Schritt 3.2.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 12}{3}$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2^{2 x + 7}$ heraus.

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 12}{3}$

Schritt 3.2.7

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)}{3}$

Schritt 3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)$ heraus.

$y = \frac{- (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.9.1

Schreibe $- (2^{2 x + 7} + 12)$ als $- 1 (2^{2 x + 7} + 12)$ um.

$y = \frac{- 1 (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Schritt 3.2.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Schritt 4

Nehme an, dass $y = {(4)}^{x}$ $f (x) = 4^{x}$ ist und $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ ist $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$f (x) = 4^{x}$

$g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Schritt 5

Die Transformation von der ersten Gleichung zur zweiten kann bestimmt werden, indem $a$ , $h$ und $k$ für jede Gleichung gefunden wird.

$y = a b^{x - h} + k$

Schritt 6

Ermittle $a$ , $h$ und $k$ für $f (x) = 4^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 7

Ermittle $a$ , $h$ und $k$ für $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - \frac{7}{2}$

$k = 0$

Schritt 8

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$g (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Linke $3.5$ Einheiten

Schritt 9

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 10

Das Vorzeichen von $a$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. $- a$ bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Schritt 11

Der Wert von $a$ beschreibt die vertikale Streckung oder Stauchung des Graphen.

$a > 1$ ist eine vertikale Streckung (macht ihn schmaler)

$0 < a < 1$ ist eine vertikale Stauchung (macht ihn breiter)

Vertikale Stauchung: Gestaucht

Schritt 12

Um die Transformation zu bestimmen, vergleiche die beiden Funktionen und überprüfe, ob es eine horizontale oder vertikale Verschiebung, eine Spiegelung an der x-Achse und eine vertikale Streckung gibt.

Mutterfunktion: $f (x) = 4^{x}$

Horizontale Verschiebung: Linke $3.5$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: Keine

Spiegelung an der x-Achse: Gespiegelt

Vertikale Stauchung: Gestaucht

Schritt 13