Algebra Beispiele

$- \frac{8 x}{5 x - 6}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{8 y}{5 y - 6}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $5 y - 6$ .

$(5 y - 6) (x) = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y x - 6 x = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y - 6$ .

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Schritt 2.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8 y}{5 y - 6}$ in den Zähler.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 y x - 6 x = - 8 y$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $8 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y x - 6 x + 8 y = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y x + 8 y = 6 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $5 y x + 8 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y x$ heraus.

$y (5 x) + 8 y = 6 x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$y (5 x) + y \cdot 8 = 6 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (5 x) + y \cdot 8$ heraus.

$y (5 x + 8) = 6 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (5 x + 8) = 6 x$ durch $5 x + 8$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (5 x + 8) = 6 x$ durch $5 x + 8$ .

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x + 8$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{6 (- \frac{8 x}{5 x - 6})}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- 6 \frac{8 x}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Multipliziere $5 (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- 5 \frac{8 x}{5 x - 6} + 8}$

Schritt 4.2.4.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 5 (8 x)}{5 x - 6} + 8}$

Schritt 4.2.4.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x}{5 x - 6} + 8}$

Schritt 4.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + 8}$

Schritt 4.2.4.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + \frac{8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.5

Schreibe $\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 40 x + 8 (5 x - 6)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 40 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.5.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x + 5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.5.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (0 - 6)}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.5.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 48}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- \frac{48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.6.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{48 x}{5 x - 6}}{\frac{48}{5 x - 6}}$

Schritt 4.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $48$ .

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Schritt 4.2.8.1

Faktorisiere $48$ aus $48 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Schritt 4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Schritt 4.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x - 6$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{6 x}{5 x + 8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{8 (\frac{6 x}{5 x + 8})}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $8$ und $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Multipliziere $5 \frac{6 x}{5 x + 8}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{5 (6 x)}{5 x + 8} - 6}$

Schritt 4.3.4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6}$

Schritt 4.3.4.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6 \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} + \frac{- 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe $\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.5.1

Faktorisiere $6$ aus $30 x - 6 (5 x + 8)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.5.1.1

Faktorisiere $6$ aus $30 x$ heraus.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 (5 x + 8)$ heraus.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))$ heraus.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x) - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.5

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (0 - 8)}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.5.6

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 \cdot - 8}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{- 48}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{48 x}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 x}{5 x + 8} \cdot (- \frac{5 x + 8}{48}))$

Schritt 4.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (- \frac{48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $48$ .

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Schritt 4.3.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{48 x}{5 x + 8}$ in den Zähler.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- 48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Schritt 4.3.8.2

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x$ heraus.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Schritt 4.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Schritt 4.3.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x + 8$ .

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Schritt 4.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Schritt 4.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$