Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{x + 3} - 5$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y + 3} - 5$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y + 3} - 5 = x$ um.

$\sqrt[3]{y + 3} - 5 = x$

Schritt 2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{y + 3} = x + 5$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y + 3}}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x + 5)}^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y + 3 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y + 3 = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y + 3 = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$y + 3 = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y + 3 = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125 - 3$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $125$ .

$y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x + 3} - 5$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.2.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = (x + 3) + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 + 3 {\sqrt[3]{x + 3}}^{2} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 + 3 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} \cdot - 5 + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x + 3} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.4

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x + 3} \cdot 25 + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + {(- 5)}^{3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.2.6

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 3 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 125 + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.3

Subtrahiere $125$ von $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 {(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe ${(\sqrt[3]{x + 3} - 5)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{x + 3} - 5) (\sqrt[3]{x + 3} - 5)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 ((\sqrt[3]{x + 3} - 5) (\sqrt[3]{x + 3} - 5)) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.5

Multipliziere $(\sqrt[3]{x + 3} - 5) (\sqrt[3]{x + 3} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{x + 3} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) - 5 (\sqrt[3]{x + 3} - 5)) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{x + 3} + \sqrt[3]{x + 3} \cdot - 5 - 5 (\sqrt[3]{x + 3} - 5)) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{x + 3} + \sqrt[3]{x + 3} \cdot - 5 - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \cdot - 5) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.6.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{x + 3}$ .

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Schritt 4.2.3.6.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{x + 3}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.3.6.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x + 3}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.3.6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 ({\sqrt[3]{x + 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x + 3} \cdot - 5 - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \cdot - 5) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 ({\sqrt[3]{x + 3}}^{2} + \sqrt[3]{x + 3} \cdot - 5 - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \cdot - 5) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x + 3} \cdot - 5 - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \cdot - 5) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 5 \cdot \sqrt[3]{x + 3} - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \cdot - 5) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 5 \sqrt[3]{x + 3} - 5 \sqrt[3]{x + 3} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.6.2

Subtrahiere $5 \sqrt[3]{x + 3}$ von $- 5 \sqrt[3]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 (\sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 10 \sqrt[3]{x + 3} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 15 (- 10 \sqrt[3]{x + 3}) + 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.8.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $15$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.8.2

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 (\sqrt[3]{x + 3} - 5) + 122$

Schritt 4.2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \cdot - 5 + 122$

Schritt 4.2.3.10

Mutltipliziere $75$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 375 + 122$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 122 - 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 375 + 122$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $- 15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}}$ und $15 \sqrt[3]{{(x + 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 + 0 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 375 + 122$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $x - 122$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 375 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 375 + 122$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere $375$ von $375$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 0 + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 122$

Schritt 4.2.4.1.4

Addiere $x - 122 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 122 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \sqrt[3]{x + 3} + 122$

Schritt 4.2.4.1.5

Addiere $- 122$ und $122$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \sqrt[3]{x + 3}$

Schritt 4.2.4.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 75 \sqrt[3]{x + 3} - 150 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \sqrt[3]{x + 3}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $150 \sqrt[3]{x + 3}$ von $75 \sqrt[3]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x - 75 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \sqrt[3]{x + 3}$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 75 \sqrt[3]{x + 3} + 75 \sqrt[3]{x + 3}$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 75 \sqrt[3]{x + 3}$ und $75 \sqrt[3]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 3} - 5) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) + 3} - 5$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $122$ und $3$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125} - 5$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.2.1

Gruppiere die Terme um.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{x^{3} + 125 + 15 x^{2} + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{x^{3} + 5^{3} + 15 x^{2} + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x^{2} + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.5

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2} + 75 x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.2.5.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 75 x} - 5$

Schritt 4.3.3.2.5.2

Faktorisiere $15 x$ aus $75 x$ heraus.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (5)} - 5$

Schritt 4.3.3.2.5.3

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x (x) + 15 x (5)$ heraus.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)} - 5$

Schritt 4.3.3.2.6

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)$ heraus.

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Schritt 4.3.3.2.6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $15 x (x + 5)$ heraus.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)} - 5$

Schritt 4.3.3.2.6.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)$ heraus.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25 + 15 x)} - 5$

Schritt 4.3.3.2.7

Addiere $- 5 x$ und $15 x$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 25)} - 5$

Schritt 4.3.3.2.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.2.8.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 5^{2})} - 5$

Schritt 4.3.3.2.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 4.3.3.2.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})} - 5$

Schritt 4.3.3.2.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) {(x + 5)}^{2}} - 5$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.3.1.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{(x + 5) {(x + 5)}^{2}} - 5$

Schritt 4.3.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{{(x + 5)}^{1 + 2}} - 5$

Schritt 4.3.3.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = \sqrt[3]{{(x + 5)}^{3}} - 5$

Schritt 4.3.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = x + 5 - 5$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{x + 3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 122$