Algebra Beispiele

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x - \frac{1}{x})}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $- \frac{1}{x}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{3}$ mit $1$ .

${(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{x}$ an.

$x^{3} ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x^{3} ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{0}$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x^{0}$ aus ${(- 1)}^{0} x^{3}$ heraus.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.6

Multipliziere $1$ mit $1^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Bewege $1^{0}$ .

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $1^{0}$ mit $1$ .

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Schritt 4.6.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.6.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.7

Vereinfache $1^{1} x^{3}$ .

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{3} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x}) + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x^{3} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.9.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.9.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$x^{3} - 3 x + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.12.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.16.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.16.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.16.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.17

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.19

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.21

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.21.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 4.21.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 4.22

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 4.23

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$