Algebra Beispiele

$2 x^{2} - 36 x < - 120$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 36 x = - 120$

Schritt 2

Addiere $120$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 36 x + 120 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 36 x + 120$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 36 x + 120 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 18 x) + 120 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $120$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 18 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60$ heraus.

$2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 18 x + 60$ durch $1$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 18$ und $c = 60$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 60)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $240$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $240$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 9 + \sqrt{21}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $240$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 9 - \sqrt{21}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 9 + \sqrt{21}, 9 - \sqrt{21}$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 9 - \sqrt{21}$

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

$x > 9 + \sqrt{21}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 9 - \sqrt{21}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 9 - \sqrt{21}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 < - 120$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 120$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(9)}^{2} - 36 \cdot 9 < - 120$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 162$ ist kleiner als die rechte Seite $- 120$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 9 + \sqrt{21}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9 + \sqrt{21}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 16$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(16)}^{2} - 36 \cdot 16 < - 120$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 64$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 120$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falsch

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Wahr

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falsch

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falsch

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Wahr

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

Schritt 14