Algebra Beispiele

$(1, 8)$ , $(2, 3)$ , $(4, - 31)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$8 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 3 = a {(2)}^{2} + b (2) + c, - 31 = a {(4)}^{2} + b (4) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $8 = a + b + c$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a + b + c = 8$ um.

$a + b + c = 8$

$3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + c = 8 - b$

$3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 8 - b - c$

$3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$a = 8 - b - c$

$3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$a = 8 - b - c$

$3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $8 - b - c$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $a$ in $3 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ durch $8 - b - c$ .

$3 = (8 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $(8 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 = (8 - b - c) \cdot 4 + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = 8 \cdot 4 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$3 = 32 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 = 32 - 4 b - c \cdot 4 + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 = 32 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$3 = 32 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Addiere $- 4 b$ und $2 b$ .

$3 = 32 - 2 b - 4 c + c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere $- 4 c$ und $c$ .

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $a$ in $- 31 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ durch $8 - b - c$ .

$- 31 = (8 - b - c) \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache $(8 - b - c) \cdot 4^{2} + b (4) + c$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 31 = (8 - b - c) \cdot 16 + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 31 = 8 \cdot 16 - b \cdot 16 - c \cdot 16 + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$- 31 = 128 - b \cdot 16 - c \cdot 16 + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 31 = 128 - 16 b - c \cdot 16 + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 31 = 128 - 16 b - 16 c + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 16 b - 16 c + b (4) + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $b$ .

$- 31 = 128 - 16 b - 16 c + 4 b + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 16 b - 16 c + 4 b + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Addiere $- 16 b$ und $4 b$ .

$- 31 = 128 - 12 b - 16 c + c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Addiere $- 16 c$ und $c$ .

$- 31 = 128 - 12 b - 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 12 b - 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 12 b - 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 12 b - 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 31 = 128 - 12 b - 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3

Löse in $- 31 = 128 - 12 b - 15 c$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $128 - 12 b - 15 c = - 31$ um.

$128 - 12 b - 15 c = - 31$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $128$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 b - 15 c = - 31 - 128$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $15 c$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 b = - 31 - 128 + 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $128$ von $- 31$ .

$- 12 b = - 159 + 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$- 12 b = - 159 + 15 c$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 b = - 159 + 15 c$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 b = - 159 + 15 c$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 b}{- 12} = \frac{- 159}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 b}{- 12} = \frac{- 159}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 159}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{- 159}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{- 159}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 159$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 159$ heraus.

$b = \frac{- 3 \cdot 53}{- 12} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12$ heraus.

$b = \frac{- 3 \cdot 53}{- 3 \cdot 4} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{- 3 \cdot 53}{- 3 \cdot 4} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{53}{4} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} + \frac{15 c}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15 c$ heraus.

$b = \frac{53}{4} + \frac{3 (5 c)}{- 12}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$b = \frac{53}{4} + \frac{3 (5 c)}{3 (- 4)}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{53}{4} + \frac{3 (5 c)}{3 \cdot - 4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{53}{4} + \frac{5 c}{- 4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} + \frac{5 c}{- 4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} + \frac{5 c}{- 4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$3 = 32 - 2 b - 3 c$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $b$ in $3 = 32 - 2 b - 3 c$ durch $\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$ .

$3 = 32 - 2 (\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $32 - 2 (\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}) - 3 c$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = 32 - 2 (\frac{53}{4}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$3 = 32 + 2 (- 1) (\frac{53}{4}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 = 32 + 2 \cdot (- 1 \frac{53}{2 \cdot 2}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = 32 + 2 \cdot (- 1 \frac{53}{2 \cdot 2}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) - 2 (- \frac{5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 c}{4}$ in den Zähler.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) - 2 \frac{- 5 c}{4} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) + 2 (- 1) (\frac{- 5 c}{4}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) + 2 \cdot (- 1 \frac{- 5 c}{2 \cdot 2}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) + 2 \cdot (- 1 \frac{- 5 c}{2 \cdot 2}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) - 1 \frac{- 5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = 32 - 1 (\frac{53}{2}) - 1 \frac{- 5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.4.1

Schreibe $- 1 (\frac{53}{2})$ als $- (\frac{53}{2})$ um.

$3 = 32 - (\frac{53}{2}) - 1 \frac{- 5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 = 32 - \frac{53}{2} - 1 (- \frac{5 c}{2}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.4.3

Multipliziere $- 1 (- \frac{5 c}{2})$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 = 32 - \frac{53}{2} + 1 (\frac{5 c}{2}) - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{5 c}{2}$ mit $1$ .

$3 = 32 - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = 32 - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = 32 - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = 32 - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.2

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 = 32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.3

Kombiniere $32$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 = \frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 = \frac{32 \cdot 2 - 53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$3 = \frac{64 - 53}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Subtrahiere $53$ von $64$ .

$3 = \frac{11}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = \frac{11}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.6

Um $- 3 c$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 = \frac{11}{2} + \frac{5 c}{2} - 3 c \cdot \frac{2}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.7

Kombiniere $- 3 c$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 = \frac{11}{2} + \frac{5 c}{2} + \frac{- 3 c \cdot 2}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 = \frac{11}{2} + \frac{5 c - 3 c \cdot 2}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 = \frac{11 + 5 c - 3 c \cdot 2}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 = \frac{11 + 5 c - 6 c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.11

Subtrahiere $6 c$ von $5 c$ .

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - b - c$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $b$ in $a = 8 - b - c$ durch $\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$ .

$a = 8 - (\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}) - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Vereinfache $8 - (\frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}) - c$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = 8 - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.1.2

Multipliziere $- - \frac{5 c}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = 8 - \frac{53}{4} + 1 (\frac{5 c}{4}) - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{5 c}{4}$ mit $1$ .

$a = 8 - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = 8 - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$a = 8 \cdot \frac{4}{4} - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.3

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{8 \cdot 4}{4} - \frac{53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{8 \cdot 4 - 53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$a = \frac{32 - 53}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.5.2

Subtrahiere $53$ von $32$ .

$a = \frac{- 21}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = \frac{- 21}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{21}{4} + \frac{5 c}{4} - c$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.7

Um $- c$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$a = - \frac{21}{4} + \frac{5 c}{4} - c \cdot \frac{4}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.8

Kombiniere $- c$ und $\frac{4}{4}$ .

$a = - \frac{21}{4} + \frac{5 c}{4} + \frac{- c \cdot 4}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = - \frac{21}{4} + \frac{5 c - c \cdot 4}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- 21 + 5 c - c \cdot 4}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 21 + 5 c - 4 c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.12

Subtrahiere $4 c$ von $5 c$ .

$a = \frac{- 21 + c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.13

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$a = \frac{- 1 \cdot 21 + c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.14

Faktorisiere $- 1$ aus $c$ heraus.

$a = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- c)}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (21) - 1 (- c)$ heraus.

$a = \frac{- 1 (21 - c)}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.4.4.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$3 = \frac{11 - c}{2}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5

Löse in $3 = \frac{11 - c}{2}$ nach $c$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{11 - c}{2} = 3$ um.

$\frac{11 - c}{2} = 3$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{11 - c}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1.1

Vereinfache $\frac{11 - c}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 - c}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$11 - c = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$11 - c = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Stelle $11$ und $- c$ um.

$- c + 11 = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$- c + 11 = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$- c + 11 = 3 \cdot 2$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- c + 11 = 6$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$- c + 11 = 6$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$- c + 11 = 6$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $c$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- c = 6 - 11$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4.1.2

Subtrahiere $11$ von $6$ .

$- c = - 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$- c = - 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- c = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- c = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- c}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{c}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4.2.2.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 5}{- 1}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$c = \frac{- 5}{- 1}$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$c = 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$c = 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$c = 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$c = 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$c = 5$

$a = - \frac{21 - c}{4}$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $c$ in $a = - \frac{21 - c}{4}$ durch $5$ .

$a = - \frac{21 - (5)}{4}$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- \frac{21 - (5)}{4}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$a = - \frac{21 - 5}{4}$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Subtrahiere $5$ von $21$ .

$a = - \frac{16}{4}$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - \frac{16}{4}$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$a = - 1 \cdot 4$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a = - 4$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $c$ in $b = \frac{53}{4} - \frac{5 c}{4}$ durch $5$ .

$b = \frac{53}{4} - \frac{5 (5)}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache $\frac{53}{4} - \frac{5 (5)}{4}$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b = \frac{53 - 5 \cdot 5}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

Schritt 3.6.4.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$b = \frac{53 - 25}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

Schritt 3.6.4.1.2.2

Subtrahiere $25$ von $53$ .

$b = \frac{28}{4}$

$a = - 4$

$c = 5$

Schritt 3.6.4.1.2.3

Dividiere $28$ durch $4$ .

$b = 7$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = 7$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = 7$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = 7$

$a = - 4$

$c = 5$

$b = 7$

$a = - 4$

$c = 5$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$b = 7, a = - 4, c = 5$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = - 4 x^{2} + 7 x + 5$

Schritt 5