Algebra Beispiele

${(x - 1)}^{2} = 4 {(y - 4)}^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 {(y - 4)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(x - 1) (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(y - 4)}^{2}$ als $(y - 4) (y - 4)$ um.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 ((y - 4) (y - 4)) = 0$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $(y - 4) (y - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y (y - 4) - 4 (y - 4)) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Schritt 1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Schritt 1.2.6.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 y - 4 y + 16) = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 8 y + 16) = 0$

Schritt 1.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} - 4 (- 8 y) - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 1.2.8

Vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 64 = 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x^{2} - 2 x - 4 y^{2} + 32 y - 63 = 0$

Schritt 1.4

Bewege $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y - 63 = 0$

Schritt 2

Addiere $63$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 4

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 32 y = 63$

Schritt 5

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 32 y = 63 + 1$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} + 32 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 32$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{32}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (- 4)}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{16}{- 4}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $- 4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{4 (4)}{- 4}$

Schritt 6.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Schritt 6.4.2.1.3

Dividiere $1024$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $0$ und $64$ .

$e = 64$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ ein.

$- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$

Schritt 7

Setze $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ für $- 4 y^{2} + 32 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} + 64 = 63 + 1$

Schritt 8

Bringe $64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 63 + 1 - 64$

Schritt 9

Vereinfache $63 + 1 - 64$ .

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Schritt 9.1

Addiere $63$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 64 - 64$

Schritt 9.2

Subtrahiere $64$ von $64$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Schritt 10

Teile jeden Term durch $0$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{0} - \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 1$