Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 5$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{2}{2 (- 3)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2}{2 (- 3)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{2}{2 (- 3)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{1}{3})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = - 3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = - 3 \frac{1}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 3 (\frac{1}{9}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (- 1) (\frac{1}{9}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = - 1 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{1}{3})$ als $- (\frac{1}{3})$ um.

$f (\frac{1}{3}) = - (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Schritt 3.2.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 5$

Schritt 3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = - 5 + \frac{- 1 + 2}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 5 + \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 15 + 1}{3}$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $- 15$ und $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14}{3}$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{14}{3}$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{1}{3}, - \frac{14}{3})$

Schritt 5