Algebra Beispiele

$v (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}$

Schritt 1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$v r = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{4 π r^{3}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$v r - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $r$ aus $v r - \frac{4 π r^{3}}{3}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $r$ aus $v r$ heraus.

$r v - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $r$ aus $- \frac{4 π r^{3}}{3}$ heraus.

$r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r$ aus $r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ heraus.

$r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Schritt 5

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 6

Setze $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ gleich $0$ .

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse $v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 π r^{2}}{3} = - v$

Schritt 6.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{4 π}$ .

$- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4 π}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 π r^{2}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4 π} (- 4 π r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 π$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4 π$ aus $- 4 π r^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (- 1 r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.2.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Multipliziere $- \frac{3}{4 π} (- v)$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r^{2} = 1 \frac{3}{4 π} v$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$r^{2} = \frac{3}{4 π} v$

Schritt 6.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{4 π}$ und $v$ .

$r^{2} = \frac{3 v}{4 π}$

Schritt 6.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Schreibe $\frac{3 v}{4 π}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}$ um.

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Schritt 6.2.5.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 v$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{4 π}}$

Schritt 6.2.5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 π$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}}$

Schritt 6.2.5.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}$ um.

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}}$

Schritt 6.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 v}{π}}$

Schritt 6.2.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{3 v}{π}}$ als $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ um.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$

Schritt 6.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Schritt 6.2.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Schritt 6.2.5.5.2

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Schritt 6.2.5.5.3

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Schritt 6.2.5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Schritt 6.2.5.5.6

Schreibe ${\sqrt{π}}^{2}$ als $π$ um.

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Schritt 6.2.5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π}$ als $π^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Schritt 6.2.5.5.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π}$

Schritt 6.2.5.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v π}}{π}$

Schritt 6.2.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3 v π}}{π}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 6.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Schritt 8

Um als Funktion von $v$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $r$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $v$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (v) = 0, \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$