Algebra Beispiele

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 3) (x - 3), 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(x + 3) (x - 3)$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ mit $(x + 3) (x - 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ mit $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $q$ .

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Schritt 4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Schritt 4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.3.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $3 q x^{2} - 27 q = 1$ um.

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

Schritt 5.2

Addiere $27 q$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ durch $3 q$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ durch $3 q$ .

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $27 q$ heraus.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 q$ heraus.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

Schritt 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ .

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Schritt 5.5.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

Schritt 5.5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

Schritt 5.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ als $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ mit $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

Schritt 5.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ mit $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

Schritt 5.5.7.2

Potenziere $\sqrt{3 q}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

Schritt 5.5.7.3

Potenziere $\sqrt{3 q}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

Schritt 5.5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

Schritt 5.5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3 q}}^{2}$ als $3 q$ um.

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Schritt 5.5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 q}$ als ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

Schritt 5.5.7.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

Schritt 5.5.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

Schritt 5.5.9

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Schritt 6

Um als Funktion von $q$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $x$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $q$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$