Algebra Beispiele

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x \leq 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x \leq 0$

Schritt 5

Setze das Argument in $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Schritt 6.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ um.

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Schritt 6.2.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Schritt 6.2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.3.1

Vereinfache ${(2^{0})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{0})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Schritt 6.2.2.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x = 1$

Schritt 6.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

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Schritt 6.3.1

Setze das Argument in $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$2 \sqrt{x} > 0$

Schritt 6.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x > 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x > 0$

Schritt 6.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x > 0$

Schritt 6.3.2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $2 \sqrt{x}$ .

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Schritt 6.3.2.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.3.2.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 6.3.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 0$

Schritt 6.3.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.3.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 6.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Schritt 6.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Schritt 6.5.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.12$

Schritt 6.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Schritt 6.5.2.3

Die linke Seite $- 0.52944684$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.5.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Schritt 6.5.3.3

Die linke Seite $1.79248125$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$x > \frac{1}{4}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$x > \frac{1}{4}$ Falsch

Schritt 6.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 8

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Schritt 9