Algebra Beispiele

$(- 5, 0)$ , $(- 3, 1)$

Schritt 1

Die allgemeine Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $(h, k)$ ist $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . In diesem Fall haben wir $(- 3, 1)$ als den Scheitelpunkt $(h, k)$ und $(- 5, 0)$ ist ein Punkt $(x, y)$ auf der Parabel. Um $a$ zu ermitteln, setze die beiden Punkte in $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ein.

$0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 2

$0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$ benutzen, um nach $a$ , $a = - \frac{1}{4}$ aufzulösen.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$ um.

$a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$a {(- 5 + 3)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 5$ und $3$ .

$a {(- 2)}^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$a \cdot 4 + 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a + 1 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 a = - 1$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 a = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Unter Verwendung von $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ist die allgemeine Gleichung der Parabel mit dem Scheitelpunkt $(- 3, 1)$ und $a = - \frac{1}{4}$ gleich $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 4

Löse $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- \frac{1}{4}$ mit ${(x - (- 3))}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 4.3

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 4.4

Vereinfache $(- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$y = - \frac{1}{4} ((x + 3) (x + 3)) + 1$

Schritt 4.4.1.3

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{4} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1$

Schritt 4.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1$

Schritt 4.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Schritt 4.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Schritt 4.4.1.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Schritt 4.4.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1$

Schritt 4.4.1.4.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 6 x + 9) + 1$

Schritt 4.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1.6.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} (3 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.3

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.5

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Schritt 4.4.1.6.6

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot 9$ .

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Schritt 4.4.1.6.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - 9 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.4.1.6.6.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Schritt 4.4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Schritt 4.4.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + 1$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Schritt 4.4.2.3

Addiere $- 9$ und $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 4.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Schritt 5

Die Standardform und die Scheitelform sind wie folgt.

Standardform: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Scheitelform: $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Schritt 6

Vereinfache die Standardform.

Standardform: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Scheitelform: $y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Schritt 7