Algebra Beispiele

$y = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = \sin (x)$ und $g (y) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.13

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ um.

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ um.

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $- x' \sin^{2} (x)$ heraus.

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $x' \cos^{2} (x)$ heraus.

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ heraus.

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

Schritt 5.4

Stelle $- 1 \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

Schritt 5.5

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

Schritt 5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ durch $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ durch $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) + \sin (x)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - \sin (x)$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$