Algebra Beispiele

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{5} - 7 x^{2} - 4}{x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{5} - 7 x^{2} - 4$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 7 x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x + 0) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.10

Addiere $15 x^{4} - 14 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 3.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x}{x^{4}}$

Schritt 3.2.12.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x$ heraus.

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Schritt 3.2.12.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (15 x^{4} - 14 x)$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x)) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x}{x^{4}}$

Schritt 3.2.12.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x)) + x (- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x^{4}}$

Schritt 3.2.12.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (15 x^{4} - 14 x)) + x (- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4)}{x^{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4)}{x^{3}}$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x \cdot x^{4} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{15 (x^{4} x) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{15 (x^{4} x^{1}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 x^{4 + 1} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{15 x^{5} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x^{5} - 14 x \cdot x - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 (x \cdot x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} + 8}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} + 8$ .

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Schritt 3.4.3.2.1

Addiere $- 14 x^{2}$ und $14 x^{2}$ .

$\frac{15 x^{5} - 6 x^{5} + 0 + 8}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.2.2

Addiere $15 x^{5} - 6 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{15 x^{5} - 6 x^{5} + 8}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3.3

Subtrahiere $6 x^{5}$ von $15 x^{5}$ .

$\frac{9 x^{5} + 8}{x^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{9 x^{5} + 8}{x^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{5} + 8}{x^{3}}$