Algebra Beispiele

$x - 2 > \frac{6}{x}$

Schritt 1

Löse $1 - \sqrt{7} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{7}$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(x - 2) x = \frac{6}{x} x$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache $(x - 2) x$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 2 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 2 x = \frac{6}{x} x$

Schritt 1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x = 6$

Schritt 1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Schritt 1.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 1.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 1.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{7}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 1.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.3.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{7}$

Schritt 1.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Schritt 1.4

Bestimme den Definitionsbereich von $x - 2 - \frac{6}{x}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 1.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1 - \sqrt{7}$

$1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < 1 + \sqrt{7}$

$x > 1 + \sqrt{7}$

Schritt 1.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1 - \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1 - \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 4) - 2 > \frac{6}{- 4}$

Schritt 1.6.1.3

Die linke Seite $- 6$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.2

Teste einen Wert im Intervall $1 - \sqrt{7} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - \sqrt{7} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 1.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 1) - 2 > \frac{6}{- 1}$

Schritt 1.6.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist größer als die rechte Seite $- 6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1 + \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1 + \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 1.6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) - 2 > \frac{6}{2}$

Schritt 1.6.3.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 1.6.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(6) - 2 > \frac{6}{6}$

Schritt 1.6.4.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1 - \sqrt{7}$ Falsch

$1 - \sqrt{7} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1 + \sqrt{7}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{7}$ Wahr

$x < 1 - \sqrt{7}$ Falsch

$1 - \sqrt{7} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1 + \sqrt{7}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{7}$ Wahr

Schritt 1.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 - \sqrt{7} < x < 0$ oder $x > 1 + \sqrt{7}$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $1 - \sqrt{7} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{7}$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | 1 - \sqrt{7} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{7}}$

Schritt 3