Algebra Beispiele

$x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$
	$1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$
	$1$	$- 10$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 10)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(30)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$
	$1$	$- 10$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$
	$1$	$- 10$	$33$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(33)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 99)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$	$- 99$
	$1$	$- 10$	$33$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$	$- 99$
	$1$	$- 10$	$33$	$- 36$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$	$- 99$	$108$
	$1$	$- 10$	$33$	$- 36$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 3$	$30$	$- 99$	$108$
	$1$	$- 10$	$33$	$- 36$	$0$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 10 x^{2} + (33) x - 36$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 10 x^{2} + 33 x - 36$

Schritt 3

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 4}$ an mit $x = - 4$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$
	$1$	$- 11$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 11)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$
	$1$	$- 11$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$
	$1$	$- 11$	$47$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(47)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 188)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$	$- 188$
	$1$	$- 11$	$47$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$	$- 188$
	$1$	$- 11$	$47$	$- 125$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 125)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(500)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$	$- 188$	$500$
	$1$	$- 11$	$47$	$- 125$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 4$	$44$	$- 188$	$500$
	$1$	$- 11$	$47$	$- 125$	$392$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 11 x^{2} + (47) x - 125 + \frac{392}{x + 4}$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 11 x^{2} + 47 x - 125 + \frac{392}{x + 4}$

Schritt 5

Da $- 4 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 4$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 4$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 6}$ an mit $x = - 6$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$
	$1$	$- 13$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 13)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(78)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$
	$1$	$- 13$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$
	$1$	$- 13$	$81$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(81)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 486)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$	$- 486$
	$1$	$- 13$	$81$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$	$- 486$
	$1$	$- 13$	$81$	$- 423$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 423)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(2538)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$	$- 486$	$2538$
	$1$	$- 13$	$81$	$- 423$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 6$	$78$	$- 486$	$2538$
	$1$	$- 13$	$81$	$- 423$	$2430$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 13 x^{2} + (81) x - 423 + \frac{2430}{x + 6}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 13 x^{2} + 81 x - 423 + \frac{2430}{x + 6}$

Schritt 7

Da $- 6 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 6$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 6$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 9}$ an mit $x = 9$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$
	$1$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$
	$1$	$2$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$
	$1$	$2$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$
	$1$	$2$	$21$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(21)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(189)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$	$189$
	$1$	$2$	$21$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$	$189$
	$1$	$2$	$21$	$252$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(252)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(2268)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$	$189$	$2268$
	$1$	$2$	$21$	$252$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$9$	$18$	$189$	$2268$
	$1$	$2$	$21$	$252$	$2160$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (21) x + 252 + \frac{2160}{x - 9}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 2 x^{2} + 21 x + 252 + \frac{2160}{x - 9}$

Schritt 9

Da $9 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $9$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $9$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 9}$ an mit $x = - 9$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$
	$1$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$
	$1$	$- 16$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 16)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(144)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$
	$1$	$- 16$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$
	$1$	$- 16$	$147$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(147)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1323)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$	$- 1323$
	$1$	$- 16$	$147$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$	$- 1323$
	$1$	$- 16$	$147$	$- 1260$

Schritt 10.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1260)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(11340)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$	$- 1323$	$11340$
	$1$	$- 16$	$147$	$- 1260$

Schritt 10.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 9$	$144$	$- 1323$	$11340$
	$1$	$- 16$	$147$	$- 1260$	$11232$

Schritt 10.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 16 x^{2} + (147) x - 1260 + \frac{11232}{x + 9}$

Schritt 10.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 16 x^{2} + 147 x - 1260 + \frac{11232}{x + 9}$

Schritt 11

Da $- 9 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 9$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 9$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 12}$ an mit $x = 12$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$
	$1$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$
	$1$	$5$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$
	$1$	$5$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$
	$1$	$5$	$63$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(63)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(756)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$	$756$
	$1$	$5$	$63$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$	$756$
	$1$	$5$	$63$	$819$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(819)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(9828)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$	$756$	$9828$
	$1$	$5$	$63$	$819$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$12$	$60$	$756$	$9828$
	$1$	$5$	$63$	$819$	$9720$

Schritt 12.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (63) x + 819 + \frac{9720}{x - 12}$

Schritt 12.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 5 x^{2} + 63 x + 819 + \frac{9720}{x - 12}$

Schritt 13

Da $12 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $12$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $12$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 12}$ an mit $x = - 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$
	$1$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$
	$1$	$- 19$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 19)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(228)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$
	$1$	$- 19$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$
	$1$	$- 19$	$231$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(231)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2772)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$	$- 2772$
	$1$	$- 19$	$231$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$	$- 2772$
	$1$	$- 19$	$231$	$- 2709$

Schritt 14.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2709)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(32508)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$	$- 2772$	$32508$
	$1$	$- 19$	$231$	$- 2709$

Schritt 14.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 12$	$228$	$- 2772$	$32508$
	$1$	$- 19$	$231$	$- 2709$	$32400$

Schritt 14.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 19 x^{2} + (231) x - 2709 + \frac{32400}{x + 12}$

Schritt 14.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 19 x^{2} + 231 x - 2709 + \frac{32400}{x + 12}$

Schritt 15

Da $- 12 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 12$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 12$

Schritt 16

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 18}$ an mit $x = 18$ .

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Schritt 16.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 16.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 16.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(18)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$
	$1$

Schritt 16.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$
	$1$	$11$

Schritt 16.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(18)$ und schreibe das Ergebnis von $(198)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$
	$1$	$11$

Schritt 16.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$
	$1$	$11$	$201$

Schritt 16.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(201)$ mit dem Divisor $(18)$ und schreibe das Ergebnis von $(3618)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$	$3618$
	$1$	$11$	$201$

Schritt 16.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$	$3618$
	$1$	$11$	$201$	$3681$

Schritt 16.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3681)$ mit dem Divisor $(18)$ und schreibe das Ergebnis von $(66258)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$	$3618$	$66258$
	$1$	$11$	$201$	$3681$

Schritt 16.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$18$	$198$	$3618$	$66258$
	$1$	$11$	$201$	$3681$	$66150$

Schritt 16.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (201) x + 3681 + \frac{66150}{x - 18}$

Schritt 16.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 11 x^{2} + 201 x + 3681 + \frac{66150}{x - 18}$

Schritt 17

Da $18 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $18$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $18$

Schritt 18

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 18}$ an mit $x = - 18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 18.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 18.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 18)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$
	$1$

Schritt 18.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$
	$1$	$- 25$

Schritt 18.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 25)$ mit dem Divisor $(- 18)$ und schreibe das Ergebnis von $(450)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$
	$1$	$- 25$

Schritt 18.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$
	$1$	$- 25$	$453$

Schritt 18.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(453)$ mit dem Divisor $(- 18)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8154)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$	$- 8154$
	$1$	$- 25$	$453$

Schritt 18.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$	$- 8154$
	$1$	$- 25$	$453$	$- 8091$

Schritt 18.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8091)$ mit dem Divisor $(- 18)$ und schreibe das Ergebnis von $(145638)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$	$- 8154$	$145638$
	$1$	$- 25$	$453$	$- 8091$

Schritt 18.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 18$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 18$	$450$	$- 8154$	$145638$
	$1$	$- 25$	$453$	$- 8091$	$145530$

Schritt 18.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 25 x^{2} + (453) x - 8091 + \frac{145530}{x + 18}$

Schritt 18.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 25 x^{2} + 453 x - 8091 + \frac{145530}{x + 18}$

Schritt 19

Da $- 18 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 18$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 18$

Schritt 20

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 27}$ an mit $x = 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 20.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 20.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(27)$ und schreibe das Ergebnis von $(27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$
	$1$

Schritt 20.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$
	$1$	$20$

Schritt 20.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(27)$ und schreibe das Ergebnis von $(540)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$
	$1$	$20$

Schritt 20.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$
	$1$	$20$	$543$

Schritt 20.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(543)$ mit dem Divisor $(27)$ und schreibe das Ergebnis von $(14661)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$	$14661$
	$1$	$20$	$543$

Schritt 20.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$	$14661$
	$1$	$20$	$543$	$14724$

Schritt 20.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(14724)$ mit dem Divisor $(27)$ und schreibe das Ergebnis von $(397548)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$	$14661$	$397548$
	$1$	$20$	$543$	$14724$

Schritt 20.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$27$	$540$	$14661$	$397548$
	$1$	$20$	$543$	$14724$	$397440$

Schritt 20.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 20 x^{2} + (543) x + 14724 + \frac{397440}{x - 27}$

Schritt 20.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 20 x^{2} + 543 x + 14724 + \frac{397440}{x - 27}$

Schritt 21

Da $27 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $27$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $27$

Schritt 22

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 27}$ an mit $x = - 27$ .

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Schritt 22.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 22.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 22.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 27)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$
	$1$

Schritt 22.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$
	$1$	$- 34$

Schritt 22.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 34)$ mit dem Divisor $(- 27)$ und schreibe das Ergebnis von $(918)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$
	$1$	$- 34$

Schritt 22.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$
	$1$	$- 34$	$921$

Schritt 22.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(921)$ mit dem Divisor $(- 27)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 24867)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$	$- 24867$
	$1$	$- 34$	$921$

Schritt 22.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$	$- 24867$
	$1$	$- 34$	$921$	$- 24804$

Schritt 22.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 24804)$ mit dem Divisor $(- 27)$ und schreibe das Ergebnis von $(669708)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$	$- 24867$	$669708$
	$1$	$- 34$	$921$	$- 24804$

Schritt 22.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 27$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 27$	$918$	$- 24867$	$669708$
	$1$	$- 34$	$921$	$- 24804$	$669600$

Schritt 22.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 34 x^{2} + (921) x - 24804 + \frac{669600}{x + 27}$

Schritt 22.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 34 x^{2} + 921 x - 24804 + \frac{669600}{x + 27}$

Schritt 23

Da $- 27 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 27$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 27$

Schritt 24

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 36}$ an mit $x = 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 24.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 24.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(36)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$
	$1$

Schritt 24.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$
	$1$	$29$

Schritt 24.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(29)$ mit dem Divisor $(36)$ und schreibe das Ergebnis von $(1044)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$
	$1$	$29$

Schritt 24.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$
	$1$	$29$	$1047$

Schritt 24.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1047)$ mit dem Divisor $(36)$ und schreibe das Ergebnis von $(37692)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$	$37692$
	$1$	$29$	$1047$

Schritt 24.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$	$37692$
	$1$	$29$	$1047$	$37755$

Schritt 24.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(37755)$ mit dem Divisor $(36)$ und schreibe das Ergebnis von $(1359180)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$	$37692$	$1359180$
	$1$	$29$	$1047$	$37755$

Schritt 24.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$36$	$1044$	$37692$	$1359180$
	$1$	$29$	$1047$	$37755$	$1359072$

Schritt 24.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 29 x^{2} + (1047) x + 37755 + \frac{1359072}{x - 36}$

Schritt 24.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 29 x^{2} + 1047 x + 37755 + \frac{1359072}{x - 36}$

Schritt 25

Da $36 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $36$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $36$

Schritt 26

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 36}$ an mit $x = - 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 26.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 26.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 36)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$
	$1$

Schritt 26.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$
	$1$	$- 43$

Schritt 26.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 43)$ mit dem Divisor $(- 36)$ und schreibe das Ergebnis von $(1548)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$
	$1$	$- 43$

Schritt 26.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$
	$1$	$- 43$	$1551$

Schritt 26.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1551)$ mit dem Divisor $(- 36)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 55836)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$	$- 55836$
	$1$	$- 43$	$1551$

Schritt 26.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$	$- 55836$
	$1$	$- 43$	$1551$	$- 55773$

Schritt 26.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 55773)$ mit dem Divisor $(- 36)$ und schreibe das Ergebnis von $(2007828)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$	$- 55836$	$2007828$
	$1$	$- 43$	$1551$	$- 55773$

Schritt 26.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 36$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 36$	$1548$	$- 55836$	$2007828$
	$1$	$- 43$	$1551$	$- 55773$	$2007720$

Schritt 26.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 43 x^{2} + (1551) x - 55773 + \frac{2007720}{x + 36}$

Schritt 26.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 43 x^{2} + 1551 x - 55773 + \frac{2007720}{x + 36}$

Schritt 27

Da $- 36 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 36$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 36$

Schritt 28

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 54}$ an mit $x = 54$ .

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Schritt 28.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 28.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 28.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(54)$ und schreibe das Ergebnis von $(54)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$
	$1$

Schritt 28.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$
	$1$	$47$

Schritt 28.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(47)$ mit dem Divisor $(54)$ und schreibe das Ergebnis von $(2538)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$
	$1$	$47$

Schritt 28.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$
	$1$	$47$	$2541$

Schritt 28.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2541)$ mit dem Divisor $(54)$ und schreibe das Ergebnis von $(137214)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$	$137214$
	$1$	$47$	$2541$

Schritt 28.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$	$137214$
	$1$	$47$	$2541$	$137277$

Schritt 28.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(137277)$ mit dem Divisor $(54)$ und schreibe das Ergebnis von $(7412958)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$	$137214$	$7412958$
	$1$	$47$	$2541$	$137277$

Schritt 28.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$54$	$2538$	$137214$	$7412958$
	$1$	$47$	$2541$	$137277$	$7412850$

Schritt 28.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 47 x^{2} + (2541) x + 137277 + \frac{7412850}{x - 54}$

Schritt 28.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 47 x^{2} + 2541 x + 137277 + \frac{7412850}{x - 54}$

Schritt 29

Da $54 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $54$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $54$

Schritt 30

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 54}$ an mit $x = - 54$ .

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Schritt 30.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 30.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 30.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 54)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 54)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$
	$1$

Schritt 30.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$
	$1$	$- 61$

Schritt 30.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 61)$ mit dem Divisor $(- 54)$ und schreibe das Ergebnis von $(3294)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$
	$1$	$- 61$

Schritt 30.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$
	$1$	$- 61$	$3297$

Schritt 30.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3297)$ mit dem Divisor $(- 54)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 178038)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$	$- 178038$
	$1$	$- 61$	$3297$

Schritt 30.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$	$- 178038$
	$1$	$- 61$	$3297$	$- 177975$

Schritt 30.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 177975)$ mit dem Divisor $(- 54)$ und schreibe das Ergebnis von $(9610650)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$	$- 178038$	$9610650$
	$1$	$- 61$	$3297$	$- 177975$

Schritt 30.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 54$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 54$	$3294$	$- 178038$	$9610650$
	$1$	$- 61$	$3297$	$- 177975$	$9610542$

Schritt 30.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 61 x^{2} + (3297) x - 177975 + \frac{9610542}{x + 54}$

Schritt 30.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 61 x^{2} + 3297 x - 177975 + \frac{9610542}{x + 54}$

Schritt 31

Da $- 54 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 54$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 54$

Schritt 32

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 108}$ an mit $x = 108$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 32.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 32.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(108)$ und schreibe das Ergebnis von $(108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$
	$1$

Schritt 32.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$
	$1$	$101$

Schritt 32.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(101)$ mit dem Divisor $(108)$ und schreibe das Ergebnis von $(10908)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$
	$1$	$101$

Schritt 32.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$
	$1$	$101$	$10911$

Schritt 32.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(10911)$ mit dem Divisor $(108)$ und schreibe das Ergebnis von $(1178388)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$	$1178388$
	$1$	$101$	$10911$

Schritt 32.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$	$1178388$
	$1$	$101$	$10911$	$1178451$

Schritt 32.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1178451)$ mit dem Divisor $(108)$ und schreibe das Ergebnis von $(127272708)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$	$1178388$	$127272708$
	$1$	$101$	$10911$	$1178451$

Schritt 32.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$108$	$10908$	$1178388$	$127272708$
	$1$	$101$	$10911$	$1178451$	$127272600$

Schritt 32.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 101 x^{2} + (10911) x + 1178451 + \frac{127272600}{x - 108}$

Schritt 32.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 101 x^{2} + 10911 x + 1178451 + \frac{127272600}{x - 108}$

Schritt 33

Da $108 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $108$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $108$

Schritt 34

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x + 108}$ an mit $x = - 108$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 34.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 34.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 108)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$
	$1$

Schritt 34.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$
	$1$	$- 115$

Schritt 34.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 115)$ mit dem Divisor $(- 108)$ und schreibe das Ergebnis von $(12420)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$
	$1$	$- 115$

Schritt 34.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$
	$1$	$- 115$	$12423$

Schritt 34.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12423)$ mit dem Divisor $(- 108)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1341684)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$	$- 1341684$
	$1$	$- 115$	$12423$

Schritt 34.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$	$- 1341684$
	$1$	$- 115$	$12423$	$- 1341621$

Schritt 34.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1341621)$ mit dem Divisor $(- 108)$ und schreibe das Ergebnis von $(144895068)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$	$- 1341684$	$144895068$
	$1$	$- 115$	$12423$	$- 1341621$

Schritt 34.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 108$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$- 108$	$12420$	$- 1341684$	$144895068$
	$1$	$- 115$	$12423$	$- 1341621$	$144894960$

Schritt 34.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 115 x^{2} + (12423) x - 1341621 + \frac{144894960}{x + 108}$

Schritt 34.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 115 x^{2} + 12423 x - 1341621 + \frac{144894960}{x + 108}$

Schritt 35

Da $- 108 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 108$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 108$

Schritt 36

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $9, 12, 18, 27, 36, 54, 108$

Untere Schranken: $- 3, - 4, - 6, - 9, - 12, - 18, - 27, - 36, - 54, - 108$

Schritt 37