Algebra Beispiele

$10^{x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 10^{y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $10^{y - 1} = x$ um.

$10^{y - 1} = x$

Schritt 2.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{y - 1}) = \log (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege $\log (10^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \log (10) = \log (x)$

Schritt 2.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \log (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y - 1$ mit $1$ .

$y - 1 = \log (x)$

Schritt 2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \log (x) + 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10^{x - 1}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 10^{x - 1}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = \log (10^{x - 1}) + 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \log (10) + 1$

Schritt 4.2.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x - 1 + 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\log (x) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{(\log (x) + 1) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\log (x) + 1) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x) + 0}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\log (x)$ und $0$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\log (x) + 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$