Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} - x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} - x$ als Gleichung.

$y = x^{2} - x$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - x = y$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0 = y$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = y$

Schritt 4

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = y \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 y + 1}{4}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (4 y + 1)$