Algebra Beispiele

${(4 u + 1)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 u)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 u)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 u)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 u)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 u)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 u)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(4 u)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere ${(1)}^{0}$ mit $1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{0 + 1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{1} \cdot {(4 u)}^{4}$ .

${(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $4 u$ an.

$4^{4} u^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 u^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $4 u$ an.

$256 u^{4} + 4 \cdot (4^{3} u^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6

Multipliziere $4$ mit $4^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Bewege $4^{3}$ .

$256 u^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $4^{3}$ mit $4$ .

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Schritt 4.6.2.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$256 u^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$256 u^{4} + 4^{3 + 1} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$256 u^{4} + 4^{4} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.7

Vereinfache $4^{4} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1}$ .

$256 u^{4} + 4^{4} \cdot u^{3} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.8

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 u^{4} + 256 \cdot u^{3} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.9

Wende die Produktregel auf $4 u$ an.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 6 \cdot (4^{2} u^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 6 \cdot (16 u^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $16$ mit $6$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $96$ mit $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 4 \cdot (4 u) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u \cdot 1 + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.18

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.1

Bewege ${(1)}^{4}$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(4 u)}^{0}$

Schritt 4.18.2

Mutltipliziere ${(1)}^{4}$ mit $1$ .

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Schritt 4.18.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(4 u)}^{0}$

Schritt 4.18.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{4 + 1} \cdot {(4 u)}^{0}$

Schritt 4.18.3

Addiere $4$ und $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{5} \cdot {(4 u)}^{0}$

Schritt 4.19

Vereinfache $1^{5} \cdot {(4 u)}^{0}$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{5}$

Schritt 4.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1$