Algebra Beispiele

${(\sqrt{2} x + \frac{1}{2} y)}^{4}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

${(\sqrt{2} x + \frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(\sqrt{2} x)}^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} x$ an.

${\sqrt{2}}^{4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{1}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2^{2} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\sqrt{2} x)}^{3}$ heraus.

$4 x^{4} + 2 (2 {(\sqrt{2} x)}^{3}) \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{4} + 2 (2 {(\sqrt{2} x)}^{3}) \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{4} + 2 {(\sqrt{2} x)}^{3} y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.5

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} x$ an.

$4 x^{4} + 2 ({\sqrt{2}}^{3} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{2^{3}} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{8} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.8

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{4 (2)} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 x^{4} + 2 (2 \sqrt{2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 4 (\sqrt{2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.11

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} x$ an.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 ({\sqrt{2}}^{2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{1} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.12.5

Berechne den Exponenten.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2 x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.14

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.16.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.16.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.17

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{2^{3}} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.18

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{8} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.19.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2} x$ heraus.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{8} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.19.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{4 (2)} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{4 \cdot 2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.19.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.20

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + x \frac{\sqrt{2} y^{3}}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.21

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{2} y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x (\sqrt{2} y^{3})}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Schritt 3.22

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{2^{4}}$

Schritt 3.23

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{16}$