Algebra Beispiele

$x = 2 | y | - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 | y | - 1 = x$ um.

$2 | y | - 1 = x$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 | y | = x + 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 | y | = x + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 | y | = x + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = \frac{y}{2} + \frac{1}{2}, x = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Löse jede Gleichung für $y$ .

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Schritt 8.1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$ um.

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = x - \frac{1}{2}$

Schritt 8.1.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 8.1.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 8.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 8.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.4.2.1

Vereinfache $2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.1.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 8.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.4.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 8.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 8.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 x - 1$

Schritt 8.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$ um.

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$

Schritt 8.2.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{2} = x + \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.4.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 8.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 8.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 2 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.2.1

Vereinfache $- 2 (x + \frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.2.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 2 x - 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - 2 x + 2 (- 1) \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 2 x + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 x - 1$

Schritt 8.3

Liste die Gleichungen auf.

$y = 2 x - 1, y = - 2 x - 1$

Schritt 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$

Schritt 10

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ ist.

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Schritt 10.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ und $f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$ und vergleiche sie.

Schritt 10.2

Finde den Wertebereich von $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 10.3

Bestimme den Definitionsbereich von $2 x - 1$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 10.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 10.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x - 1, f^{- 1} (x) = - 2 x - 1$

Schritt 11