Algebra Beispiele

$y = | x^{2} - 3 x + 1 |$ , $y = x - 1$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$

Schritt 2

Löse $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = \pm (x - 1)$

Schritt 2.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{2} - 3 x + 1 = x - 1$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 1 - x = - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = - 1$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 1 + 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x - 1$

Schritt 2.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x - 1$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.10

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Schritt 2.2.11

Vereinfache $- (x - 1)$ .

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Schritt 2.2.11.1

Forme um.

$x^{2} - 3 x + 1 = 0 + 0 - (x - 1)$

Schritt 2.2.11.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Schritt 2.2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 3 x + 1 = - x - - 1$

Schritt 2.2.11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = - x + 1$

Schritt 2.2.12

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.12.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 1 + x = 1$

Schritt 2.2.12.2

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 1$

Schritt 2.2.13

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - 1 = 0$

Schritt 2.2.14

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 2.2.14.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{2} - 2 x + 0 = 0$

Schritt 2.2.14.2

Addiere $x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 2.2.15

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.2.15.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 2 x = 0$

Schritt 2.2.15.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.15.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$x (x - 2) = 0$

Schritt 2.2.16

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 1$

Schritt 2.2.17

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.18

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.18.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.18.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.2.19

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 2.2.20

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, 0, 2$

Schritt 2.3

Schließe die Lösungen aus, die $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ nicht erfüllen.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = 2 + \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $2 + \sqrt{2}$ .

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Schritt 3.2

Setze $2 + \sqrt{2}$ für $x$ in $y = (2 + \sqrt{2}) - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 + \sqrt{2} - 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = (2) - 1$

Schritt 4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = (2) - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 - 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (2) - 1$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

$(2, 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}), (2, 1)$

Gleichungsform:

$x = 2 + \sqrt{2}, y = 1 + \sqrt{2}$

$x = 2, y = 1$

Schritt 7