Algebra Beispiele

$(\frac{4}{13}, 8, \frac{4}{9})$ , $(\frac{6}{14}, \frac{7}{9}, 9)$

Schritt 1

To find the distance between two 3d points, square the difference of the x, y, and z points. Then, sum them and take the square root.

$\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Schritt 2

Ersetze $x_{1}$ , $x_{2}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , $z_{1}$ und $z_{2}$ durch die entsprechenden Werte.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{6}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck $\sqrt{{(\frac{6}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $14$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 (3)}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.2

Um $\frac{3}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} \cdot \frac{13}{13} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{4}{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} \cdot \frac{13}{13} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $91$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{13}{13}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{7 \cdot 13} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $13$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{13}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4 \cdot 7}{13 \cdot 7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $13$ mit $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13 - 4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{39 - 4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{39 - 28}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $28$ von $39$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{11}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.7

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{91}$ an.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{11^{2}}{91^{2}} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.8

Potenziere $11$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{91^{2}} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.9

Potenziere $91$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.10

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.11

Kombiniere $- 8$ und $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7 - 8 \cdot 9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7 - 72}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.13.2

Subtrahiere $72$ von $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{- 65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- \frac{65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.15.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{65}{9}$ an.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- 1)}^{2} {(\frac{65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.15.2

Wende die Produktregel auf $\frac{65}{9}$ an.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- 1)}^{2} (\frac{65^{2}}{9^{2}}) + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.16

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + 1 (\frac{65^{2}}{9^{2}}) + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $\frac{65^{2}}{9^{2}}$ mit $1$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{65^{2}}{9^{2}} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.18

Potenziere $65$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{9^{2}} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.19

Potenziere $9$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.20

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(9 \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.21

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{9 \cdot 9}{9} - \frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{9 \cdot 9 - 4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.23.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{81 - 4}{9})}^{2}}$

Schritt 3.23.2

Subtrahiere $4$ von $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{77}{9})}^{2}}$

Schritt 3.24

Wende die Produktregel auf $\frac{77}{9}$ an.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{77^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 3.25

Potenziere $77$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{9^{2}}}$

Schritt 3.26

Potenziere $9$ mit $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.27

Um $\frac{121}{8281}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} \cdot \frac{81}{81} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.28

Um $\frac{4225}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} \cdot \frac{81}{81} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $670761$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.29.1

Mutltipliziere $\frac{121}{8281}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{8281 \cdot 81} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.29.2

Mutltipliziere $8281$ mit $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.29.3

Mutltipliziere $\frac{4225}{81}$ mit $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225 \cdot 8281}{81 \cdot 8281} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.29.4

Mutltipliziere $81$ mit $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81 + 4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.31.1

Mutltipliziere $121$ mit $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{9801 + 4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.31.2

Mutltipliziere $4225$ mit $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{9801 + 34987225}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.31.3

Addiere $9801$ und $34987225$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Schritt 3.32

Um $\frac{5929}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929}{81} \cdot \frac{8281}{8281}}$

Schritt 3.33

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $670761$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.33.1

Mutltipliziere $\frac{5929}{81}$ mit $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929 \cdot 8281}{81 \cdot 8281}}$

Schritt 3.33.2

Mutltipliziere $81$ mit $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929 \cdot 8281}{670761}}$

Schritt 3.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026 + 5929 \cdot 8281}{670761}}$

Schritt 3.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.35.1

Mutltipliziere $5929$ mit $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026 + 49098049}{670761}}$

Schritt 3.35.2

Addiere $34997026$ und $49098049$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{84095075}{670761}}$

Schritt 3.36

Schreibe $\sqrt{\frac{84095075}{670761}}$ als $\frac{\sqrt{84095075}}{\sqrt{670761}}$ um.

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{84095075}}{\sqrt{670761}}$

Schritt 3.37

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.37.1

Schreibe $84095075$ als $5^{2} \cdot 3363803$ um.

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Schritt 3.37.1.1

Faktorisiere $25$ aus $84095075$ heraus.

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{25 (3363803)}}{\sqrt{670761}}$

Schritt 3.37.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3363803}}{\sqrt{670761}}$

Schritt 3.37.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{\sqrt{670761}}$

Schritt 3.38

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.38.1

Schreibe $670761$ als $819^{2}$ um.

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{\sqrt{819^{2}}}$

Schritt 3.38.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{819}$

Schritt 4

Der Abstand zwischen $(\frac{4}{13}, 8, \frac{4}{9})$ und $(\frac{6}{14}, \frac{7}{9}, 9)$ ist $\frac{5 \sqrt{3363803}}{819}$ .

$\frac{5 \sqrt{3363803}}{819} \approx 11.19699229$