Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}} - 4}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{x^{2}} - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{2}} - 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x^{2}} = 4$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${(x^{1})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{1})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 4.4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 4.4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4, - 4}$

Schritt 6