Algebra Beispiele

$2 x^{2} + 2 x + y = 4 y$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 2 x + y - 4 y = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 y$ von $y$ .

$2 x^{2} + 2 x - 3 y = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 2$ und $c = - 3 y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $4 (1 + 6 y)$ als $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $4 (1 + 6 y)$ als $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ um.

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{1 + 6 y}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 6 y})}{2}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 6 y})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 6 y})}{2}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $4 (1 + 6 y)$ als $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \sqrt{1 + 6 y}$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Stelle $1$ und $6 y$ um.

$x = \frac{- 1 - \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Schritt 6.5.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{6 y + 1}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{6 y + 1})}{2}$

Schritt 6.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{6 y + 1})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{6 y + 1})}{2}$

Schritt 6.5.5

Schreibe $- 1 (1 + \sqrt{6 y + 1})$ als $- (1 + \sqrt{6 y + 1})$ um.

$x = \frac{- (1 + \sqrt{6 y + 1})}{2}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

$x = - \frac{1 + \sqrt{6 y + 1}}{2}$