Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ um.

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\ln (\frac{1}{2})$ als $\ln (1) - \ln (2)$ um.

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $\ln (2)$ von $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren in $y (- \ln (2))$ um.

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- y \ln (2) = \ln (x)$ durch $- \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y \ln (2) = \ln (x)$ durch $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Schritt 5.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache $- \log_{2} (x)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Schritt 5.3.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$