Algebra Beispiele

$y + \frac{2 y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$y + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 2

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$y \cdot \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $y$ und $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y$ aus $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})$ heraus.

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{y (x \cdot x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y (x^{1 + 2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y (x^{3} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x \cdot x y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y^{1}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{2 + 1} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.3.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} y$ und $- y x^{2}$ neu an.

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4.3

Addiere $x^{3} + x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4.4

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{2}$ und $- y^{2} x$ neu an.

$\frac{y (x^{3} + y^{2} x - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4.5

Subtrahiere $y^{2} x$ von $y^{2} x$ .

$\frac{y (x^{3} + 0 - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 4.4.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{y (x^{3} - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$