Algebra Beispiele

$(\sqrt{10} + \sqrt{5}) (\sqrt{10} - \sqrt{5})$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{10} + \sqrt{5}) (\sqrt{10} - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{10} (\sqrt{10} - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{10} - \sqrt{5})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{10} \sqrt{10} + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{10} - \sqrt{5})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{10} \sqrt{10} + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{10 \cdot 10} + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\sqrt{100} + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.3

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\sqrt{10^{2}} + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10 + \sqrt{10} (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $\sqrt{10} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$10 - \sqrt{10 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$10 - \sqrt{50} + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.6

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$10 - \sqrt{25 (2)} + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$10 - \sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$10 - (5 \sqrt{2}) + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$10 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 10} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{50} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.11

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$10 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{25 (2)} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.11.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$10 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})$

Schritt 2.1.13

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.13.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Schritt 2.1.13.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Schritt 2.1.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{5}}^{2}$

Schritt 2.1.14

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 5^{1}$

Schritt 2.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$10 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$5 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$

Schritt 2.3

Addiere $- 5 \sqrt{2}$ und $5 \sqrt{2}$ .

$5 + 0$

Schritt 2.4

Addiere $5$ und $0$ .

$5$