Algebra Beispiele

$x {(2 y - x)}^{2} + 2 x^{2} (x - 2 y)$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x {(2 y - x)}^{2} + 2 x^{2} (x - 2 y)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x {(2 y - x)}^{2}$ heraus.

$x ({(2 y - x)}^{2}) + 2 x^{2} (x - 2 y)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} (x - 2 y)$ heraus.

$x ({(2 y - x)}^{2}) + x (2 x (x - 2 y))$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x ({(2 y - x)}^{2}) + x (2 x (x - 2 y))$ heraus.

$x ({(2 y - x)}^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 2

Schreibe ${(2 y - x)}^{2}$ als $(2 y - x) (2 y - x)$ um.

$x ((2 y - x) (2 y - x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 3

Multipliziere $(2 y - x) (2 y - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 y (2 y - x) - x (2 y - x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 y (2 y) + 2 y (- x) - x (2 y - x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 y (2 y) + 2 y (- x) - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y (- x) - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Bewege $y$ .

$x (2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y (- x) - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x (2 \cdot 2 y^{2} + 2 y (- x) - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (4 y^{2} + 2 y (- x) - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - x (2 y) - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 y^{2} - 2 y x - 1 \cdot 2 x y - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y - x (- x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.9.1

Bewege $x$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y - 1 \cdot - 1 x^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y + 1 x^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x (4 y^{2} - 2 y x - 2 x y + x^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 x y$ von $- 2 y x$ .

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Schritt 4.2.1

Bewege $y$ .

$x (4 y^{2} - 2 x y - 2 x y + x^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von $- 2 x y$ .

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 x (x - 2 y))$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x (- 2 y))$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x (- 2 y))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 x^{2} + 2 x (- 2 y))$

Schritt 7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x y)$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x (4 y^{2} - 4 x y + x^{2} + 2 x^{2} - 4 x y)$

Schritt 9

Subtrahiere $4 x y$ von $- 4 x y$ .

$x (4 y^{2} + x^{2} + 2 x^{2} - 8 x y)$

Schritt 10

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x (4 y^{2} + 3 x^{2} - 8 x y)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 11.1.1.1

Stelle die Terme um.

$x (3 x^{2} + 4 y^{2} - 8 x y)$

Schritt 11.1.1.2

Stelle $4 y^{2}$ und $- 8 x y$ um.

$x (3 x^{2} - 8 x y + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.1.3

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x y$ heraus.

$x (3 x^{2} - 8 (x y) + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.1.4

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$x (3 x^{2} + (- 2 - 6) (x y) + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} - 2 (x y) - 6 (x y) + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.1.6

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x^{2} - 2 x y - 6 (x y) + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.1.7

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x^{2} - 2 x y - 6 x y + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((3 x^{2} - 2 x y) - 6 x y + 4 y^{2})$

Schritt 11.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (3 x - 2 y) - 2 y (3 x - 2 y))$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2 y$ .

$x ((3 x - 2 y) (x - 2 y))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x - 2 y) (x - 2 y)$