Algebra Beispiele

$\sqrt{64 x} = x + 12$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{64 x} - x = 12$

Schritt 1.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{64 x} - x - 12 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\sqrt{8^{2} x} - x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$8 \sqrt{x} - x - 12 = 0$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 x^{\frac{1}{2}} - x - 12 = 0$

Schritt 4

Schreibe $x$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$8 x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12 = 0$

Schritt 5

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 u - u^{2} - 12 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + 8 u - 12 = 0$

Schritt 6.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u$ heraus.

$- u^{2} + 8 (u) - 12 = 0$

Schritt 6.2.2

Schreibe $8$ um als $2$ plus $6$

$- u^{2} + (2 + 6) u - 12 = 0$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 2 u + 6 u - 12 = 0$

Schritt 6.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} + 2 u) + 6 u - 12 = 0$

Schritt 6.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 2) - 6 (- u + 2) = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 2$ .

$(- u + 2) (u - 6) = 0$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Schritt 9

Setze $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse $- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Schritt 9.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.1.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.5

Vereinfache.

$x = {(- 2)}^{2}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 10

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 6$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 6$

Schritt 10.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 6^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 6^{2}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = 36$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 36$