Algebra Beispiele

$\frac{x}{x - 1} + \frac{x}{3} = \frac{5}{x - 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{x}{3} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x - 1} + \frac{x}{3} - \frac{5}{x - 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x}{3} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 3}{(x - 1) \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x \cdot 3}{(x - 1) \cdot 3} + \frac{x (x - 1)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) \cdot 3$ um.

$\frac{x \cdot 3}{3 (x - 1)} + \frac{x (x - 1)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 3 + x (x - 1)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (3) + x (x - 1)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x (3) + x (x - 1)$ heraus.

$\frac{x (3 + x - 1)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} = 0$

Schritt 2.6

Um $- \frac{5}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x - 1)} - \frac{5}{x - 1} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x - 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x - 1)} - \frac{5 \cdot 3}{(x - 1) \cdot 3} = 0$

Schritt 2.7.2

Stelle die Faktoren von $(x - 1) \cdot 3$ um.

$\frac{x (x + 2)}{3 (x - 1)} - \frac{5 \cdot 3}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 2) - 5 \cdot 3}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 \cdot 3}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 \cdot 3}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 \cdot 3}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 15}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.9.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 2.9.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 5)}{3 (x - 1)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.3

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$