Algebra Beispiele

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{- \frac{2}{3}}$ als ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + u - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Schritt 6

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Schritt 7

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Schritt 9

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12

Setze $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12.2

Löse $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 4 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 12.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 12.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 12.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ an.

${(- 4)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.1.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$- 64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 64 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$- 64 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 12.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 64 x = - 1$

Schritt 12.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 64 x = - 1$ durch $- 64$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 64 x = - 1$ durch $- 64$ .

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Schritt 12.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 64$ .

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Schritt 12.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Schritt 12.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 64}$

Schritt 12.2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{64}$

Schritt 13

Setze $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 13.2

Löse $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 5 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 13.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 13.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 13.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$125 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$125 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$125 x = - 1$

Schritt 13.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $125 x = - 1$ durch $125$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $125 x = - 1$ durch $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Schritt 13.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 13.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Schritt 13.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{125}$

Schritt 13.2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{125}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{64}, - \frac{1}{125}$