Algebra Beispiele

$x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{- 1} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Schritt 4

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Schritt 5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 5 x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Schritt 7

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Schritt 8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}) = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Schritt 11

Setze $\frac{1 - 5 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $\frac{1 - 5 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

Schritt 11.2

Löse $\frac{1 - 5 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 5 x = 0$

Schritt 11.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = - 1$

Schritt 11.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 1$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 1$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 11.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 11.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 11.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 11.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 12

Setze $\frac{1 - 2 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $\frac{1 - 2 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Schritt 12.2

Löse $\frac{1 - 2 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 2 x = 0$

Schritt 12.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 12.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 12.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$