Algebra Beispiele

$11 x^{4} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$11 {(x^{2})}^{2} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 11 \cdot 26 = 286$ und deren Summe gleich $b = - 37$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 37$ aus $- 37 u$ heraus.

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 37$ um als $- 11$ plus $- 26$

$11 u^{2} + (- 11 - 26) u + 26 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$11 u^{2} - 11 u - 26 u + 26 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(11 u^{2} - 11 u) - 26 u + 26 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$11 u (u - 1) - 26 (u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$(u - 1) (11 u - 26) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) (11 x^{2} - 26) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$11 x^{2} - 26 = 0$

Schritt 8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 10

Setze $11 x^{2} - 26$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $11 x^{2} - 26$ gleich $0$ .

$11 x^{2} - 26 = 0$

Schritt 10.2

Löse $11 x^{2} - 26 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $26$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$11 x^{2} = 26$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x^{2} = 26$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x^{2} = 26$ durch $11$ .

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{26}{11}$

Schritt 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{26}{11}}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{26}{11}}$ .

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Schritt 10.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{26}{11}}$ als $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$

Schritt 10.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 10.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 10.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Schritt 10.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Schritt 10.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 10.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 10.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Schritt 10.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11}$

Schritt 10.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 11}}{11}$

Schritt 10.2.4.4.2

Mutltipliziere $26$ mit $11$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{286}}{11}$

Schritt 10.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}$

Schritt 10.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Schritt 10.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Dezimalform:

$x = - 1, 1, 1.53741222 \dots, - 1.53741222 \dots$