Algebra Beispiele

$2 = \frac{11}{2 x - 1} + \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{11}{2 x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} = \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{1} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{11}{2 x - 1}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - (\frac{11}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}) - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{11}{2 x - 1}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.6

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.7

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1 + 1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2} - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$\frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x) - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $22 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 2 + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.5

Addiere $2$ und $11$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 13 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.6

Addiere $13$ und $5$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2} - 30 x + 18$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2}) - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 30 x$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x)$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.7.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 2.7.2.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 x$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 (x) + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 3$ plus $- 12$

$\frac{2 (4 x^{2} + (- 3 - 12) x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.7.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((4 x^{2} - 3 x) - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$\frac{2 ((4 x - 3) (x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

$\frac{2 (4 x - 3) (x - 3)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 4.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, 3$