Algebra Beispiele

$x^{6} - x^{3} = 110$

Schritt 1

Subtrahiere $110$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{6} - x^{3} - 110 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - x^{3} - 110 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - u - 110 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} - u - 110$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 110$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 11, 10$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 11) (u + 10) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 11) (x^{3} + 10) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} - 11 = 0$

$x^{3} + 10 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{3} - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{3} - 11$ gleich $0$ .

$x^{3} - 11 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{3} - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 11$

Schritt 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{11}$

Schritt 8

Setze $x^{3} + 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{3} + 10$ gleich $0$ .

$x^{3} + 10 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{3} + 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 10$

Schritt 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 10}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache $\sqrt[3]{- 10}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Schreibe $- 10$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 10$ um.

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Schritt 8.2.3.1.1

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$x = \sqrt[3]{- 1 (10)}$

Schritt 8.2.3.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 10}$

Schritt 8.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 1 \sqrt[3]{10}$

Schritt 8.2.3.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{10}$ als $- \sqrt[3]{10}$ um.

$x = - \sqrt[3]{10}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{3} - 11) (x^{3} + 10) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt[3]{11}, - \sqrt[3]{10}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt[3]{11}, - \sqrt[3]{10}$

Dezimalform:

$x = 2.22398009 \dots, - 2.15443469 \dots$