Algebra Beispiele

$\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 2} - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3 (x - 2)}{x (x - 2)} + \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 (x - 2)}{x (x - 2)} + \frac{3 x}{(x - 2) x} - 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) x$ um.

$\frac{3 (x - 2)}{x (x - 2)} + \frac{3 x}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x - 2) + 3 x}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 2) + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 2) + 3 (x)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 2) + 3 (x)$ heraus.

$\frac{3 (x - 2 + x)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{3 (2 x - 2)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 (2 (x) - 2)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{3 (2 (x) + 2 (- 1))}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (2 (x - 1))}{x (x - 2)} - 1 = 0$

$\frac{3 \cdot 2 (x - 1)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 2)} - 1 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 2)} - 1 \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x (x - 2)} + \frac{- (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (x - 1) - (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x + 6 \cdot - 1 - x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 6 - x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x - 6 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x - 6 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x - 6 - x^{2} - x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 6 - x^{2} + 2 x}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.6

Addiere $6 x$ und $2 x$ .

$\frac{8 x - 6 - x^{2}}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 8 x - 6}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 8 x - 6}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 8 x) - 6}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 8 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 8 x) - 6}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 8 x) - 1 (6)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 8 x) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 8 x + 6)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (x^{2} - 8 x + 6)$ als $- 1 (x^{2} - 8 x + 6)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 8 x + 6)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 8 x + 6}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 8 x + 6 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{10}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{10}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{10}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{10}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{10}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{10}, 4 - \sqrt{10}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 4 + \sqrt{10}, 4 - \sqrt{10}$

Dezimalform:

$x = 7.16227766 \dots, 0.83772233 \dots$