Algebra Beispiele

$\frac{3}{2 x} - \frac{9}{2} = 6 x$

Schritt 1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{2 x} - \frac{9}{2} - 6 x = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- 6 x + \frac{3}{2 x} - \frac{9}{2} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x + \frac{3}{2 x} - \frac{9}{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (- 2 x) + \frac{3}{2 x} - \frac{9}{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3}{2 x}$ heraus.

$3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{2 x}) - \frac{9}{2} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{9}{2}$ heraus.

$3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{2 x}) + 3 (- \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x) + 3 \frac{1}{2 x}$ heraus.

$3 (- 2 x + \frac{1}{2 x}) + 3 (- \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x + \frac{1}{2 x}) + 3 (- \frac{3}{2})$ heraus.

$3 (- 2 x + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 4

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$3 (- 2 x \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 5

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{2 x}{2 x}$ .

$3 (\frac{- 2 x (2 x)}{2 x} + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{- 2 x (2 x) + 1}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 (\frac{- 2 x (2 x) + 1^{2}}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 7.2

Schreibe $2 x (2 x)$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$3 (\frac{- {(2 x)}^{2} + 1^{2}}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 7.3

Stelle $- {(2 x)}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$3 (\frac{1^{2} - {(2 x)}^{2}}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 7.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 x$ .

$3 (\frac{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}{2 x} - \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 8

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}{2 x} - \frac{3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{(1 + 2 x) (1 - 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Multipliziere $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 2 x$ mit $1$ .

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 (\frac{1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2} - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$3 (\frac{1 + 0 - 4 x^{2} - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (\frac{1 - 4 x^{2} - 3 x}{2 x}) = 0$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$3 (\frac{- 4 x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 11.4.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$3 (\frac{- 4 x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$3 (\frac{- 4 x^{2} + (1 - 4) x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{- 4 x^{2} + 1 x - 4 x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 (\frac{- 4 x^{2} + x - 4 x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 (\frac{(- 4 x^{2} + x) - 4 x + 1}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (\frac{x (- 4 x + 1) + 1 (- 4 x + 1)}{2 x}) = 0$

Schritt 11.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 4 x + 1$ .

$3 (\frac{(- 4 x + 1) (x + 1)}{2 x}) = 0$

Schritt 12

Vereinfache $3 (\frac{(- 4 x + 1) (x + 1)}{2 x})$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $3$ und $\frac{(- 4 x + 1) (x + 1)}{2 x}$ .

$\frac{3 ((- 4 x + 1) (x + 1))}{2 x} = 0$

Schritt 12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{3 (- (4 x) + 1) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 12.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- (4 x) - 1 (- 1)) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- (4 x - 1)) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 12.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.5.1

Schreibe $- (4 x - 1)$ als $- 1 (4 x - 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (4 x - 1)) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 12.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 (4 x - 1)) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 12.5.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(3 (4 x - 1)) (x + 1)}{2 x}$ um.

$- \frac{3 (4 x - 1) (x + 1)}{2 x} = 0$

Schritt 13

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (4 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 14.2

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 14.2.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 14.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 14.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 14.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 14.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 14.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (4 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, - 1$