Algebra Beispiele

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 2

Um $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} - 3 x) (x + 3) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ mit $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))$ um.

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6

Schreibe $\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x (x - 3) + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\frac{4 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 9) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 9 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} - (- 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 36 + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.9

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10

Schreibe $3 x^{2} + 3 x - 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 x - 36$ heraus.

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Schritt 6.10.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (x) - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + x - 12)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.10.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.10.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 6.10.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 ((x - 3) (x + 4))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.10.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Schritt 6.11

Faktorisiere.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 6.11.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x)} = 0$

Schritt 6.11.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3)} = 0$

Schritt 6.11.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x (x - 3))} = 0$

Schritt 6.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) x (x - 3)} = 0$

Schritt 6.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.12.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Schritt 6.12.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Schritt 6.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 6.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 6.13

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $3 (x - 3) (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 6.13.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) x {(x - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Schritt 6.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Schritt 6.13.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 4)}{(x + 3) x (x - 3)} = 0$

Schritt 7

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x + 4) = 0$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 4) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 4) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.2.1.2

Dividiere $x + 4$ durch $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{3}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$