Algebra Beispiele

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x - 1}{x - 2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x - 2}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x - 2}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.2.5

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x - - 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x + 2 + (- x - - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 + (- x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.5

Multipliziere $(- x + 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x + 2 - x (x + 2) + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.6.2

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{- x + 6 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{- 2 x + 6 - x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{- 2 x - x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$\frac{- 2 u - u^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.8.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- u^{2} - 2 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.8.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$\frac{- u^{2} - 2 (u) + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.2.2

Schreibe $- 2$ um als $2$ plus $- 4$

$\frac{- u^{2} + (2 - 4) u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- u^{2} + 2 u - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.8.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- u^{2} + 2 u) - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{u (- u + 2) + 4 (- u + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 2$ .

$\frac{(- u + 2) (u + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 2$ und $x - 2$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 2} = 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 4}{x + 2} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$