Algebra Beispiele

$\frac{4}{x^{2} + x - 6} - \frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{2} + x - 6} - \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Schritt 3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{(x - 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{(x - 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - (\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - \frac{2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{(x + 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - (\frac{2}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{2}{(x + 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 3.7

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) (x + 3)$ um.

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (x + 2) - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 x + 8 - (x + 3) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 8 - x - 1 \cdot 3 - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x + 8 - x - 3 - 2 x + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{3 x + 8 - 3 - 2 x + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x + 8 - 3 + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{x + 5 + 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 9

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{x + 9}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 9 = 0$

Schritt 11

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$